GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Inada-Bedingungen</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Inada-Bedingungen</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Als Inada-Bedingungen bezeichnet man in der neoklassischen Produktions- und Wachstumstheorie mehrere Bedingungen, die üblicherweise an die verwendeten Produktionsfunktionen gestellt werden. Die Bezeichnung geht auf einen Artikel des japanischen Ökonomen <a href="Inada_Ken-Ichi" title="Inada Ken-Ichi">Inada Ken-Ichi</a> aus dem Jahr 1963 zurück, in dem er diese explizit für ein Wachstumsmodell formuliert.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

Die Bezeichnung „Inada-Bedingungen“ wird dabei in der Literatur unscharf verwendet; der überwiegende Teil der Autoren beschränkt sich auf die untenstehenden Anforderungen, andere rechnen den Inada-Bedingungen darüber hinaus auch andere klassischerweise vorausgesetzte (und eben auch von Inada übernommene) Bedingungen zu, wie beispielsweise die Annahme abnehmender Grenzproduktivität (siehe auch der nachfolgende Abschnitt).<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Erläuterung">Erläuterung</h2></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(K,L)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(K,L)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f539de6e1c6ff030ee70128105f7f5108e532e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.233ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(K,L)}" loading="lazy"> eine <a href="Produktionsfunktion" title="Produktionsfunktion">Produktionsfunktion</a>, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> für den Kapitaleinsatz und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> für den Arbeitseinsatz steht. Dann besagen die Inada-Bedingungen (im engeren Sinne), dass das Grenzprodukt eines jeden Produktionsfaktors gegen unendlich konvergiert, wenn man nur den jeweiligen Faktoreinsatz gegen null streben lässt; lässt man den jeweiligen Faktoreinsatz hingegen gegen unendlich streben, so konvergiert das Grenzprodukt des Faktors gegen null. Formell gilt also

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{K\to 0}{\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}=\infty \quad {\textrm {und}}\quad \lim _{K\to \infty }{\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/551c995676f62a0caf58d553d556401311e6dec3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:48.814ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \lim _{K\to 0}{\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}=\infty \quad {\textrm {und}}\quad \lim _{K\to \infty }{\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

beziehungsweise

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{L\to 0}{\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}}=\infty \quad {\textrm {und}}\quad \lim _{L\to \infty }{\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7925c1ad551b8038c9d17dba74f824e88a50db1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:48.131ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \lim _{L\to 0}{\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}}=\infty \quad {\textrm {und}}\quad \lim _{L\to \infty }{\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}}=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Eine typische, für technische Zwecke hilfreiche Lesart dieser Bedingungen ist zum Beispiel, dass bei gegebener Technologie in einer Volkswirtschaft der Output nicht beliebig gesteigert werden kann, indem der Arbeitseinsatz immer weiter erhöht wird.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

Im weiteren Sinne bezeichnen die Inada-Bedingungen die folgenden 6 Eigenschaften in Anlehnung an die Formulierung von <a href="Hirofumi_Uzawa" title="Hirofumi Uzawa">Hirofumi Uzawa</a>:<a href="#cite_note-4">[4]</a> für eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy"> gilt

<ol><li>der Wert der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy"> an der Stelle 0 ist 0: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(0)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(0)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d308c32c9894b88115262081194321ae7d9bbf3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(0)=0}" loading="lazy"></li>

<li>die Funktion ist zweimal <a href="Stetig_differenzierbar" class="mw-redirect" title="Stetig differenzierbar">stetig differenzierbar</a>,</li>

<li>die Funktion ist streng monoton steigend in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy">: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial f(x)/\partial x_{i}>0}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial f(x)/\partial x_{i}>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe9ac286e4befa642011ab4cfa359603605301c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.606ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial f(x)/\partial x_{i}>0}" loading="lazy">,</li>

<li>die zweite <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Ableitung</a> der Funktion ist negativ in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"> (demnach handelt es sich um eine <a href="Konkave_Funktion" class="mw-redirect" title="Konkave Funktion">konkave Funktion</a>): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial ^{2}f(x)/\partial x_{i}^{2}<0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial ^{2}f(x)/\partial x_{i}^{2}<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc6e365dfddea0dbb45bed9d6db09769055d636f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.94ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \partial ^{2}f(x)/\partial x_{i}^{2}<0}" loading="lazy">,</li>

<li>der <a href="Grenzwert_(Funktion)" title="Grenzwert (Funktion)">Grenzwert</a> der ersten Ableitung ist positiv unendlich für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"> gegen 0: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{x_{i}\to 0}\partial f(x)/\partial x_{i}=+\infty }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{x_{i}\to 0}\partial f(x)/\partial x_{i}=+\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/baa2c3d47daa61804f38c7f2ba315ae0b565e39f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.993ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \lim _{x_{i}\to 0}\partial f(x)/\partial x_{i}=+\infty }" loading="lazy">,</li>

<li>und der <a href="Grenzwert_(Funktion)" title="Grenzwert (Funktion)">Grenzwert</a> der ersten Ableitung ist null für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"> gegen unendlich: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{x_{i}\to +\infty }\partial f(x)/\partial x_{i}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{x_{i}\to +\infty }\partial f(x)/\partial x_{i}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86fa4f6d0346b186db8a8207783a5692d6eee6ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:21.123ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \lim _{x_{i}\to +\infty }\partial f(x)/\partial x_{i}=0}" loading="lazy">.</li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Implikationen">Implikationen</h2></div>

Unterstellt man, wie dies typischerweise für Produktionsfunktionen angenommen wird, dass beide Inputfaktoren eine positive aber abnehmende <a href="Grenzproduktivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Grenzproduktivität">Grenzproduktivität</a> aufweisen, dass also gilt:

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}>0\quad {\textrm {sowie}}\quad {\frac {\partial ^{2}F(K,L)}{\partial K^{2}}}<0}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mtext>sowie</mtext>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}>0\quad {\textrm {sowie}}\quad {\frac {\partial ^{2}F(K,L)}{\partial K^{2}}}<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f722b9711073c45f521078c31a1292e289ece205.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:40.456ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}>0\quad {\textrm {sowie}}\quad {\frac {\partial ^{2}F(K,L)}{\partial K^{2}}}<0}" loading="lazy"></dd></dl>

beziehungsweise

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}}>0\quad {\textrm {sowie}}\quad {\frac {\partial ^{2}F(K,L)}{\partial L^{2}}}<0}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mtext>sowie</mtext>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}}>0\quad {\textrm {sowie}}\quad {\frac {\partial ^{2}F(K,L)}{\partial L^{2}}}<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b996fe63dfe9a9cb7fed42017e06e95218b5dbfa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:40.456ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}}>0\quad {\textrm {sowie}}\quad {\frac {\partial ^{2}F(K,L)}{\partial L^{2}}}<0}" loading="lazy">,</dd></dl>

und dass die Produktionsfunktion über konstante <a href="Skalenertr%C3%A4ge" class="mw-redirect" title="Skalenerträge">Skalenerträge</a> verfügt (= homogen vom Grade eins ist):

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(\alpha K,\alpha L)=\alpha F(K,L)\quad (\alpha \in \mathbb {R} ^{+})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0ee2a0093786fd1aed265282f54d0eb80eff594.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.676ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F(\alpha K,\alpha L)=\alpha F(K,L)\quad (\alpha \in \mathbb {R} ^{+})}" loading="lazy">,</dd></dl>

dann folgt aus den obigen Inada-Bedingungen überdies<a href="#cite_note-5">[5]</a>, dass jeder eingesetzte Faktor essenziell (auch: wesentlich) ist. Damit ist gemeint, dass eine Volkswirtschaft in einem Zustand, in dem es entweder kein Kapital oder keine Arbeit gibt, keinerlei Output generieren kann. Formell:

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(K,0)=0\quad {\textrm {und}}\quad F(0,L)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e96ff2e7bb0afe5eb96f2339774974fdd601b160.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.186ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(K,0)=0\quad {\textrm {und}}\quad F(0,L)=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Genügt eine Produktionsfunktion den Inada-Bedingungen, sind daher Randlösungen ausgeschlossen, bei denen ein Faktoreinsatz im Gewinnmaximum verschwindet oder unbeschränkt wächst.

Es wurde vermutet, dass die Inada-Bedingungen implizieren, dass die Produktionsfunktion asymptotisch vom <a href="Cobb-Douglas-Funktion" title="Cobb-Douglas-Funktion">Cobb-Douglas-Typ</a> sein muss, da sie davon ausgingen, dass alle Funktionen die asymptotisch eine Substitutionselastizität von eins aufweisen zur Klasse der Cobb-Douglas-Funktionen gehören.<a href="#cite_note-6">[6]</a> Es zeigte sich allerdings jedoch, dass die Inada-Bedingungen implizieren, dass für diese Eigenschaft die Produktionsfunktion nicht notwendigerweise vom <a href="Cobb-Douglas-Funktion" title="Cobb-Douglas-Funktion">Cobb-Douglas-Typ</a> sein muss.<a href="#cite_note-7">[7]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Rolf Färe und Daniel Primont: Inada Conditions and the Law of Diminishing Returns. In: International Journal of Business and Economics. 1, Nr. 1, 2002, S. 1–8 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ijbe.org/table%20of%20content/pdf/vol1/01.pdf">kostenfrei online</a>; PDF; 166 kB).</li>

<li>Ken-Ichi Inada: On a Two-Sector Model of Economic Growth: Comments and a Generalization. In: The Review of Economic Studies. 30, Nr. 2, 1963, S. 119–127 (<a href="JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.jstor.org/stable/2295809">2295809</a>).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Inada 1963.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Wie hier zum Beispiel Färe/Primont 2002; <a href="Stefan_Baumg%C3%A4rtner" title="Stefan Baumgärtner">Stefan Baumgärtner</a>: The Inada Conditions for Material Resource Inputs Reconsidered. In: Environmental & Resource Economics. 29, Nr. 3, 2004, S. 307–322, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/s10604-003-5267-5">10.1007/s10604-003-5267-5</a>; Knut Sydsæter u. a.: Further Mathematics for Economic Analysis. 2. Auflage. Pearson 2008, S. 214; weiter gefasst hingegen beispielsweise Thomas Wagner und Elke J. Jahn: Neue Arbeitsmarkttheorien. 2. Auflage. Lucius & Lucius (UTB), Stuttgart 2004, ISBN 3828202535.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Ein praktisches Beispiel für den Einsatz der Bedingung liefern Wagner/Jahn 2004: Für den Unternehmensgewinn gelte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi (L,w)=F(K,L)-wL}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi (L,w)=F(K,L)-wL}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d39f31219da27a0d319dc499108ab554f6314e1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.841ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi (L,w)=F(K,L)-wL}" loading="lazy"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy">: Reallohn). Hätte nun bei gegebenem Kapitalbestand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K={\overline {K}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K={\overline {K}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2caf3726a6e4eddd189a37a6c020f34c484ff61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.406ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle K={\overline {K}}}" loading="lazy"> jeder Arbeitnehmer in der Volkswirtschaft eine Grenzproduktivität, die oberhalb des sich auf dem Markt bildenden Reallohns liegt, wäre also für jeden Arbeiter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial F({\overline {K}},L_{i})}{\partial L_{i}}}>w\quad (\forall i)}">

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial F({\overline {K}},L_{i})}{\partial L_{i}}}>w\quad (\forall i)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b69642d7f5e1e5eb09488998304cffe2573fd914.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.352ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial F({\overline {K}},L_{i})}{\partial L_{i}}}>w\quad (\forall i)}" loading="lazy">,</dd></dl>

dann würde generell für die partielle Ableitung der Gewinnfunktion nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy">, also

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial \pi (L,w)}{\partial L}}={\frac {\partial F({\overline {K}},L)}{\partial L}}-w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9bd1ea204f3e8f146d4f79c8992ccc0b10d1b84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:27.742ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial \pi (L,w)}{\partial L}}={\frac {\partial F({\overline {K}},L)}{\partial L}}-w}" loading="lazy"></dd></dl>

gelten, dass diese stets positiv ist. Damit könnte das Unternehmen aber ohne die Inada-Bedingungen theoretisch einen unendlich hohen Gewinn erwirtschaften, indem es einen immer größeren Arbeitseinsatz nachfragt. Vgl. Thomas Wagner und Elke J. Jahn: Neue Arbeitsmarkttheorien. 2. Auflage. Lucius & Lucius (UTB), Stuttgart 2004, ISBN 3828202535, S. 29.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Uzawa, Hirofumi. "On a two-sector model of economic growth II." The Review of Economic Studies (1963): 105–118. S. 108.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Ein Beweis findet sich zum Beispiel bei Färe/Primont 2002, S. 3 f.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Vgl. Paulo Barelli und Samuel de Abreu Pessôa: Inada conditions imply that production function must be asymptotically Cobb–Douglas. In: Economics Letters. 81, Nr. 3, 2003, S. 361–363, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/S0165-1765%2803%2900218-0">10.1016/S0165-1765(03)00218-0</a>.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Litina, Anastasia, and Theodore Palivos. "Do Inada conditions imply that production function must be asymptotically Cobb–Douglas? A comment." Economics Letters 99.3 (2008): 498–499.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-02-02" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Inada-Bedingungen&oldid=252921724">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>